求學的機會率

作為父母，要為子女打算計劃，在不同的階段，為子女作不同的決定，而作這些決定，大都會去找資料，向過來人打聽，到最後作決定時，卻難免心大心細，不知所做決定是否正確。我看過很多投資的書，尤其是技術分析的書，都會教如何以過住表現去作決定，投資只是錢的問題，投資者尚且會去理智分析，但父母為子女作決定，是一生的事，我便覺得更應理智去分析，家長是否有一些參考數字，可以更客觀的去分析和去做決定呢？所以我便想到用機會率去分析家長的決定，解釋家長作這些決定背後的理據。

近來家長都忙於帶子女參加直資私校的面試，聽到的消息是學校所收到的報名表創新高，而很多孩子所報考的小學數目亦多於十間，例如上周六，便聽到有孩子同一天便要參與五間小學的面試，有些更是因為時間重疊而要缺席部份學校的面試。直覺去想，如果越多學生報考直資私校，而每個學生所報考的數目又越多，參與當中的家長，也要報考更多學校，否則便不能成功考到直資私立學校，這是很合邏輯的推論，數學上怎去理解呢？

假設某一學校只是隨機選學生入讀（即沒有面試，只靠運氣），某一學生的成功機會p便是：學位數目／考生數目，即某學校有100個學額，有200個學生來報考，成功機會是100/200，即是p=0.5（即50%）。如此，失敗的機會便是(1-p)，所以學額越少或考生越多，成功機會越少（失敗機會越大）。跟著，報考兩間小學少至有一間收的機會是1-(1-p)x(1-p)，意思是1減去兩間學校都同時不取錄的機會，如果p是0.5，至少一間收的機會便是0.75（既75%）。如此類推，報考N間小學而至少一間取錄的機會是：1-(1-p)^N（即1減去(1-p)自乘N次）。

根據以上方程式，想達到有超過八成機會會有至少一間學校取錄，便有以下情況：

• 如果p=0.5，只要N=3。即報考三間小學，便至少有一間會取錄。
• 如果p=0.1（即考生是學額的十倍），N便至少是16，即是家長要為子女報考16間小學，才有超過八成機會有其中一間取錄。

如果想達到九成機會有至少一間學校取錄，情況便會變成：

• 如果p=0.5，只要N=4。即多報考一間小學至四間，便有超過九成機會至少有一間會取錄。
• 如果p=0.1，N便至少是22，即是家長要為子女多報考6間小學至22間，才有超過九成機會有其中一間取錄。

以上的結果好像很嚇人，但先不用太擔心，首先看看以上假設和現實的分別。首先是某一間小學的成功取錄機會，以上的計算是所有小學都是同一機會率，但實際上，每一間學校的機會率都是不同（即每一間學校的p都是不一樣），某些極熱門的學校，考生的人數可以是學額的二十倍或以上，即超過二十個考生爭一個學額，而亦有些較低調的，考生的人數可能只是學額幾倍。根據以上方程式，只要報考小學當中有四間學校的機會率是一半（p=0.5），便可有超過九成機會至少有一間會取錄，之後再報其他成功機會率低的學校也不會令成功考到其中一間小學的機會率減低。意思即是，如果家長想在報考直資私校當中，有較高機會至少有一間小學取錄，便要選擇報考一些成功機會較大（即競爭較小一點）的小學。

另外，以上假設是不會面試的，學校是隨意的選學生，但是如果加上面試這個考慮點，對某一間小學來說，成功機會便是學額除以達到該校期望的人數，即如果學額有一百，但有二百個考生達到學校的期望，不論所有考生有多少，成功機會率便是二份之一。所以，如果能令到子女達到直資私校期望的素質，有至少一間小學取錄的機會便會大增，亦即要報考的學校數目可以減少。（怎樣才算是達到直資私校的期望，怎樣準備，不在此討論了。）

以上的結論好像很「無謂」，直覺就是這樣，何必拿數學出來「拋書包」。但是希望提醒家長，如果報考直資私校的目的，便是要作為官津小學派位的後備，以防派位不理想，又怕叩門也入不到理想的官津，便要考慮至少有一間自己接受得到的直資私校小學取錄自己的子女（家長又要明白如果接受了直資小學，便不能繼續參加統一派位了），所以在報考眾多熱門直資私校的同時，也得報一些次熱門的直資私校，增加可以有直資私校在手的機會。

當然，家長想的，其實不是要在直資私校當中至少考到一間，而是想考到心儀的那一間，所以如果家長有心儀小學，不用想太多便去報考便是。又想一想，明年面試的表現以及個人素質，理應比今年為好，如果假設報考人數不大變，在同一間小學取錄的機會為大，即整體至少有一間小學取錄的機會也會大增，所以家長亦可以考慮第一年在一間並非心儀的小學讀，甚至重讀K3，明年再來考過。

以上講了一大段考小學的機會和次數問題，好像一定要考到直資私校才放心。但是，其實家長跟著而來要去想的是，是否一定要讀直資私校，家長想子女考直資私校其實抱著什麼的心態，就讀直資私校和官津學校，分別又在那裡，自己子女又是否適合呢？這些問題，都留待家長去為子女好好去思考。